삼각함수의 기본 성질

1. 삼각함수의 기본 성질

주기성

함수 \( f(x) \)가 주기 \( T \)를 가질 때, 다음과 같이 표현할 수 있습니다:

\[\text{모든 } x\text{에 대하여},\ f(x + T) = f(x)\]

\( T \)가 최소한의 반복(주기)이라면, 만약 \( T' < T \)인 다른 양수 \( T' \)가 존재한다면,

\[f(x + T') \neq f(x)\]

\(\sin(x + 2\pi) = \sin x\)
\(\cos(x + 2\pi) = \cos x\)

대칭성

\(\sin(-x) = -\sin x\) (원점 대칭)
\(\cos(-x) = \cos x\) (y축 대칭)
\(\sin(x + \pi) = -\sin x\)
\(\cos(x + \pi) = -\cos x\)

상호 관계

\(\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = \cos x\)
\(\cos\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin x\)
\(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)

특수각

\(\sin 0 = 0\), \(\sin \frac{\pi}{2} = 1\), \(\sin \pi = 0\), \(\sin \frac{3\pi}{2} = -1\)
\(\cos 0 = 1\), \(\cos \frac{\pi}{2} = 0\), \(\cos \pi = -1\), \(\cos \frac{3\pi}{2} = 0\)

2. 도함수 계산 및 미적분학 개념

합성함수의 미분법(연쇄법칙)

함수 \(f(g(x))\)의 도함수는 다음과 같이 계산됩니다:

\[\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\]

삼각함수의 도함수

다음과 같이 계산됩니다:

\(\frac{d}{dx}[\sin x] = \cos x\)

\(\frac{d}{dx}[\cos x] = -\sin x\)

\(\frac{d}{dx}[\sin(g(x))] = \cos(g(x)) \cdot g'(x)\)

\(\frac{d}{dx}[\cos(g(x))] = -\sin(g(x)) \cdot g'(x)\)

곱의 미분법

함수 \(f(x) \cdot g(x)\)의 도함수는 다음과 같이 계산됩니다:

\[\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\]

문제에서 주어진 함수의 일계도함수 계산

함수 \(f(x) = \sin(ax + b + \sin x)\)의 도함수:

\(f'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(ax + b + \sin x)]\)

\[= \cos(ax + b + \sin x) \cdot \frac{d}{dx}[ax + b + \sin x]\]

\[= \cos(ax + b + \sin x) \cdot (a + \cos x)\]

문제에서 주어진 함수의 이계도함수 계산

이계도함수 계산:

\(f''(x) = \frac{d}{dx}[\cos(ax + b + \sin x) \cdot (a + \cos x)]\)

\[= \frac{d}{dx}[\cos(ax + b + \sin x)] \cdot (a + \cos x)\]

\[ \quad + \cos(ax + b + \sin x) \cdot \frac{d}{dx}[a + \cos x]\]

\[= -\sin(ax + b + \sin x) \cdot (a + \cos x) \cdot (a + \cos x)\]

\[ \quad + \cos(ax + b + \sin x) \cdot (-\sin x)\]

\[= -\sin(ax + b + \sin x) \cdot (a + \cos x)^2 - \cos(ax + b + \sin x) \cdot \sin x\]

3. 함수의 극값 분석

극값의 필요조건

함수 \(f(x)\)가 \(x = c\)에서 극값을 가지기 위한 필요조건은 \(f'(c) = 0\) 또는 \(f'(c)\)가 존재하지 않는 것입니다.

극값의 판정

\(f'(c) = 0\)일 때:

\(f''(c) < 0\)이면 \(x = c\)에서 극대값
\(f''(c) > 0\)이면 \(x = c\)에서 극소값
\(f''(c) = 0\)이면 추가 분석 필요

문제에서 주어진 함수의 극값 분석

함수 \(f(x) = \sin(ax + b + \sin x)\)에서 \(f'(x) = \cos(ax + b + \sin x) \cdot (a + \cos x) = 0\)이 되는 조건:

\(\cos(ax + b + \sin x) = 0\) 또는
\(a + \cos x = 0\)

\(1 \leq a \leq 2\) 이므로 모든 \(x\)에 대해 \(a + \cos x \geq a - 1 \geq 0\)이 성립합니다.

따라서 \(f'(x) = 0\)이 되는 유일한 조건은 \(\cos(ax + b + \sin x) = 0\)입니다.

\(\cos \theta = 0\)이 되는 조건은 \(\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi\) (단, \(n\)은 정수)이므로:

\[ax + b + \sin x = \frac{\pi}{2} + n\pi\]

문제에서 주어진 함수의 극대값과 극소값 판별

\(n\)의 각 값에 대해,

방정식 \(\frac{3}{2}x - 3\pi + \sin x = \frac{\pi}{2} + n\pi\)의 해를 \(\beta_n\)이라고 하면:

\(f'(\beta_n) = 0\)에서 \(f''(\beta_n)\)의 부호를 확인하여 극대값과 극소값을 판별합니다.

\(f''(x) = -\sin\left(\frac{3}{2}x - 3\pi + \sin x\right) \cdot \left(\frac{3}{2} + \cos x\right)^2\)

\[ \quad + \cos\left(\frac{3}{2}x - 3\pi + \sin x\right) \cdot (-\sin x)\]

\(\beta_n\)에서는 \(\cos\left(\frac{3}{2}\beta_n - 3\pi + \sin \beta_n\right) = 0\)이므로:

\(f''(\beta_n) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} + n\pi\right) \cdot \left(\frac{3}{2} + \cos \beta_n\right)^2 + 0\)

\[= -(-1)^n \cdot \left(\frac{3}{2} + \cos \beta_n\right)^2\]

\(\left(\frac{3}{2} + \cos \beta_n\right)^2 > 0\)이므로, \(f''(\beta_n)\)의 부호는 \(-(-1)^n\)의 부호에 따라 결정됩니다:

\(n\)이 짝수일 때: \(-(-1)^n = -1\)이므로 \(f''(\beta_n) < 0\) (극대점)
\(n\)이 홀수일 때: \(-(-1)^n = 1\)이므로 \(f''(\beta_n) > 0\) (극소점)

4. 단조 함수의 성질 및 사잇값 정리

단조 함수의 정의

함수 \(g(x)\)가 구간 \(I\)에서 모든 \(x_1, x_2 \in I\), \(x_1 < x_2\)에 대해:

\(g(x_1) \leq g(x_2)\)이면 단조 증가
\(g(x_1) \geq g(x_2)\)이면 단조 감소

도함수와 단조성의 관계

함수 \(g(x)\)가 구간 \(I\)에서 미분 가능하면:

모든 \(x \in I\)에 대해 \(g'(x) > 0\)이면 \(g(x)\)는 \(I\)에서 단조 증가
모든 \(x \in I\)에 대해 \(g'(x) < 0\)이면 \(g(x)\)는 \(I\)에서 단조 감소

사잇값 정리

함수 \(g(x)\)가 구간 \([a, b]\)에서 연속이고 \(g(a) \neq g(b)\)이면, \(g(a)\)와 \(g(b)\) 사이의 모든 값 \(y\)에 대해 \(g(c) = y\)를 만족하는 \(c \in [a, b]\)가 존재합니다.
함수 \(f(x)\)가 닫힌 구간 \([a, b]\)에서 연속적이며 \(f(a) \neq f(b)\)인 경우, \(f(a)\)와 \(f(b)\) 사이의 모든 값 \(k\)에 대해 \(f(c) = k\)인 \(c\)가 열린 구간 \((a, b)\) 내에 적어도 하나 존재합니다.

문제에서의 적용

함수 \(g(x) = ax + b + \sin x\)에서 \(g'(x) = a + \cos x.\)

\(a = \frac{3}{2}\)인 경우, 모든 \(x\)에 대해 \(g'(x) = \frac{3}{2} + \cos x \geq \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2} > 0\)이므로 \(g(x)\)는 단조 증가 함수입니다.

단조 증가 함수는 구간에서 모든 값을 정확히 한 번씩 가지므로, 방정식 \(g(x) = \frac{\pi}{2} + n\pi\)는 각 \(n\)에 대해 유일한 해를 가집니다.

5. 방정식 해법 및 특수해 찾기

삼각방정식의 해법

일반적으로 \(ax + b + \sin x = c\)와 같은 방정식은 해석적으로 풀기 어려운 경우가 많습니다. 그러나 특수한 경우에는 직접 대입하여 해를 찾을 수 있습니다.

특수해 찾기

방정식

\[\frac{3}{2}x - 3\pi + \sin x = \frac{\pi}{2} + n\pi\]

의 해를 찾기 위해 \( n = -2 \)와 \( n = 1 \)일 때 각각의 해를 구해보겠습니다. (실제, 다른 n값을 대입하여 계산하면 특수해 찾기가 어렵습니다.)

먼저, \( n = -2 \)를 대입합니다.

\begin{align*} \frac{3}{2}x - 3\pi + \sin x &= \frac{\pi}{2} - 2\pi \\ \frac{3}{2}x - 3\pi + \sin x &= \frac{\pi}{2} - \frac{4\pi}{2} \\ \frac{3}{2}x - 3\pi + \sin x &= -\frac{3\pi}{2} \end{align*}

이제 양변에 \( 3\pi \)를 더합니다.

\begin{align*} \frac{3}{2}x + \sin x &= -\frac{3\pi}{2} + 3\pi \\ \frac{3}{2}x + \sin x &= \frac{3\pi}{2} \end{align*}

이제 \( x = \pi \)를 대입해 확인해 보겠습니다.

\begin{align*} \frac{3}{2}\pi + \sin \pi &= \frac{3\pi}{2} \\ \frac{3}{2}\pi + 0 &= \frac{3\pi}{2} \end{align*}

\(\beta_{-2} = \pi\)입니다.

이제 \( n = 1 \)을 대입합니다.

\begin{align*} \frac{3}{2}x - 3\pi + \sin x &= \frac{\pi}{2} + 1\pi \\ \frac{3}{2}x - 3\pi + \sin x &= \frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{2} \\ \frac{3}{2}x - 3\pi + \sin x &= \frac{3\pi}{2} \end{align*}